Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）已知斜率為2的直線l與拋物線C相交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)A，B，且OA⊥OB，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的幾何性質(zhì)求p的值；
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為y=2x+t，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關(guān)于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線的幾何性質(zhì)知$\frac{2p}{4}=\frac{1}{2}⇒p=1$．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為y=2x+t．…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+t\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得4x²+（4t-2）x+t²=0，
由題（4t-2）²-4•4t²＞0．解得 $t＜\frac{1}{4}$．…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}{x_2}=\frac{t^2}{4}$，${（{y_1}{y_2}）^2}=（2{x_1}）（2{x_2}）={t^2}$．…（6分）∵$OA⊥OB，\;∴\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0\;，\;∴{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$．…（8分）
∴$\frac{t^2}{4}±t=0$，解得t=0或-4，4．…（9分）
由題意直線l不過原點(diǎn)且$t＜\frac{1}{4}$得t=-4符合題意．…（11分）
所以所求直線方程為y=2x-4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析和解決問題的能力．屬于綜合題．