Question

10．已知曲線C：y=x+$\frac{1}{x}$
（1）求證：曲線C上的各點處的切線的斜率小于1；
（2）求曲線C上斜率為0的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求導y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1，從而可判斷函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$圖象上各點處切線的斜率都小于1．
（2）令y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0得x=±1，從而由導數(shù)的幾何意義求切線方程．

解答 解：（1）證明：∵y=x+$\frac{1}{x}$，
∴y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1，
即對函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$定義域內(nèi)的任一x，其導數(shù)值都小于1，
由導數(shù)的幾何意義可知，
函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$圖象上各點處切線的斜率都小于1．
（2）令y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，得x=±1，
當x=1時，y=1+1=2；
當x=-1時，y=-2，
∴曲線y=x+$\frac{1}{x}$的斜率為0的切線有兩條，其切點分別為（1，2）與（-1，-2），
切線方程分別為y=2或y=-2．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義與導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．