Question

20．下列圖象中，有一個是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+（{a^2}-1）x+1（a∈$R，a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象，則f（-1）=-$\frac{1}{3}$
A、  B、   C、   D、

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的二次項系數(shù)為正得到圖象開口向上；利用函數(shù)解析式中有2ax，可得函數(shù)不是偶函數(shù)，得到函數(shù)的圖象．再根據(jù)對稱軸以及f′（0）=0求得a的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（-1）的值．

解答 解：∵f′（x）=x²+2ax+（a²-1），∴導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象開口向上．
又∵a≠0，∴f（x）不是偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于y軸對稱，
其圖象必為第三張圖．由圖象特征知f′（0）=0，且對稱軸為x=-a＞0，∴a=-1，f（x）=$\frac{1}{3}$•x³-x²+1．
故f（-1）=-$\frac{1}{3}$-1+1=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：-1．

點評 本題考查導(dǎo)函數(shù)的運算法則、二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)系數(shù)的關(guān)系：開口方向與二次項系數(shù)的符號有關(guān)、對稱軸公式，屬于中檔題．