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已知函數．

（1）函數在區(qū)間上是增函數還是減函數?證明你的結論；

（2）若當時，恒成立, 求正整數k的最大值．

答案：
解析：

函數在區(qū)間上是減函數；3

解：(1)　＝＝－

∵，∴，．∴＜0。

因此函數在區(qū)間上是減函數．

（2）（方法1）當時，恒成立,　令有

又k為正整數．∴k的最大值不大于3．

下面證明當k＝3時，（）恒成立．

即證當時，＋1－2x>0恒成立．

令g(x)＝＋＋1－2x，則＝－1，

當x>e－1時，＞0；當0＜x＜e－1時，＜0．

∴當x＝e－1時，g（x）取得最小值g(e－1)＝3－e＞0．

∴當x>0時，＋1－2x＞0恒成立．

因此正整數k的最大值為3．

（2）（方法2）當x>0時，f（x）＞恒成立,

即h（x）=>k對x>0恒成立.即h（x）(x>0) 的最小值大于k..

=,記＝x－1－ln（x＋1）．(x>0)

則＝＞0，∴在（0，＋）上連續(xù)遞增，

又＝1－ln3<0,＝2－2ｌｎ2＞0，

∴＝0存在惟一實根ａ，且滿足：a ，a＝1＋ｌn(a+1)．

由x＞ａ時，＞0，＞0；0＜x＜ａ時，＜0，＜0知：

h（x）(x>0) 的最小值為h（a）＝＝a＋1．

因此正整數k的最大值為3．


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