10.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作傾角為60°的直線交拋物線與AB兩點(diǎn).問(wèn)是否在拋物線上存在一點(diǎn)M,△ABM是以AB為斜邊的Rt△,存在,求出點(diǎn)M 的坐標(biāo),不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 由題意,直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$(x-1),代入拋物線方程,求出A,B的坐標(biāo),利用△ABM是以AB為斜邊的Rt△,得到M到圓心的距離等于半徑,即可得出結(jié)論.

解答 解:由題意,直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$(x-1),
代入拋物線方程整理可得3x2-10x+3=0,
∴x=3或$\frac{1}{3}$,
∴y=2$\sqrt{3}$或-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴A(3,2$\sqrt{3}$),B($\frac{1}{3}$,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),
∴|AB|=$\frac{16}{3}$,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為($\frac{5}{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)
設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)M(x,y ),△ABM是以AB為斜邊的Rt△,則(x-$\frac{5}{3}$)2+(y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)2=$\frac{64}{9}$
∵y2=4x,∴x=$\frac{1}{3}$,y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴存在一點(diǎn)M($\frac{1}{3}$,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),△ABM是以AB為斜邊的Rt△.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查圓的方程的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,利用M到圓心的距離等于半徑是關(guān)鍵.

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(3)對(duì)于命題p:?x∈R,x2+x+1<0,則¬p:?x∈R,x2+x+1≥0
(4)若P∧q為假命題,則P、q均為假命題.(  )
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(1)當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),
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5.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=nan-3n(n-1)(n∈N*),且a2=11.
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Sn
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=$\sqrt{\frac{n}{{S}_{n}}}$,求證:b1+b2+…+bn<$\frac{2}{3}$$\sqrt{3n+2}$.

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15.若${∫}_{1}^{2}$(2x-a)dx=log2$\frac{1}{4}$,則a等于( 。
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20.已知集合A={x|x•(x-2)≤0},B={x|($\frac{1}{2}$)mx-2>2}.
(1)若m=2,求A∩∁RB;
(2)若A∪B=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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