Question

5．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求其前n項和S_n；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\sqrt{\frac{n}{{S}_{n}}}$，求證：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{2}{3}$$\sqrt{3n+2}$．

Answer 1

分析 （1）令n=1求得首項，再由數(shù)列的通項和求和的關系：由a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，即可得到；
（2）化簡數(shù)列b_n，由放縮法和分母有理化，結(jié)合裂項相消求和，即可得證．

解答 （1）解：由S_n=na_n-3n（n-1），可得
S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2×1和a₂=11，
可得a₁=5；
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1
得a_n=na_n-3n（n-1）-（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2）
即有（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1）
$⇒{a_n}-{a_{n-1}}=6（n≥2，n∈{N^*}）$，
∴數(shù)列{a_n}是首項a₁=5，公差為6的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+6（n-1）=6n-1，
∴${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=3{n^2}+2n$；
（2）證明：∵${b_n}=\sqrt{\frac{n}{S_n}}=\frac{1}{{\sqrt{3n+2}}}=\frac{2}{{2\sqrt{3n+2}}}＜\frac{2}{{\sqrt{3n-1}+\sqrt{3n+2}}}$
=$\frac{{2（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）}}{{（\sqrt{3n+2}+\sqrt{3n-1}）（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）}}=\frac{2}{3}（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{2}{3}[（\sqrt{5}-\sqrt{2}）+（\sqrt{8}-\sqrt{5}）+…+（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）]$
=$\frac{2}{3}（\sqrt{3n+2}-\sqrt{2}）＜\frac{2}{3}\sqrt{3n+2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和前n項和的關系，考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及不等式的性質(zhì)證明不等式，屬于中檔題．