（1）已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng) a1=1，且an+1=
an
1+an
（ n=1，2，3…）使用歸納法歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．（不需證明）
（2）用分析法證明：若a＞0，則
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．
分析：（1）由 a1=1，且an+1=
an
1+an
 可求得數(shù)列的前若干項(xiàng)，根據(jù)每項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征猜想通項(xiàng)公式．
（2）只需證
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
，只需證（
a2+
1
a2
+2）2≥（a+
1
a
+
2
）2，
只需證
a2+
1
a2
≥
2
2
（a+
1
a
），即證 a2+
1
a2
≥2，而它顯然是成立．
解答：解：（1）由 a1=1，且an+1=
an
1+an
 可得，a2=
a1
1+a1
=
1
2
，a3=
a2
1+a2
=
1
3
，猜想 an = 
1
n
．
（2）證明：要證
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2，只需證
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
．
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（
a2+
1
a2
+2）2≥（a+
1
a
+
2
）2，
只需證a2+
1
a2
+4+4
a2+
1
a2
≥a2+
1
a2
+2+2
2
（a+
1
a
），
只需證
a2+
1
a2
≥
2
2
（a+
1
a
），只需證a2+
1
a2
≥
1
2
（a2+
1
a2
+2），
即證a2+
1
a2
≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，以及用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n•2n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=
1
4
（an+1）2．
①求{an}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)m，k，p∈N*，m+p=2k，求證：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk

（2）若{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Tn，求證：對(duì)任意n∈N*，Tn，Tn+1，Tn+2不能構(gòu)成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，且滿足an+1=3an+1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=
an-12an-1+1
(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n，求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列．
（2）已知
1
a
，
1
b
，
1
c
成等差數(shù)列，求證
b+c
a
，
c+a
b
，
a+b
c
也成等差數(shù)列．

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