Question

17．已知平面向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$滿(mǎn)足$\overrightarrow{a}$=（1，2），|$\overrightarrow$|=$\sqrt{10}$，且|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{14}$|，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為（　�。�

• A． -$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
• B． -$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，由$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)可得$\overrightarrow{a}$的模，又由|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{14}$，計(jì)算可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4，由向量的數(shù)量積計(jì)算公式可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
$\overrightarrow{a}$=（1，2），則|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，
若|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{14}$，則有|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=4$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=30+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=14，
則有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4，
又由|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{10}$，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-4}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的坐標(biāo)計(jì)算，關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積的計(jì)算公式．