Question

6．我州某高中從高二年級(jí)甲、乙兩個(gè)班種各選出7名學(xué)生參加2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川初賽），他們?nèi)〉玫某煽儯�滿分140分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a、b滿足：a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． 2
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 8

Answer 1

分析 由中位數(shù)和平均數(shù)的定義，可得x，y的值，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，可得a+b=4，再由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$），運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是80+x=81，得x=1；
由莖葉圖可知乙班學(xué)生的總分為76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，
又乙班學(xué)生的平均分是86，
總分又等于86×7=602．所以y=4，
若正實(shí)數(shù)a、b滿足：a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，
則xy=G²，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=$\frac{1}{4}$×9=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{8}{3}$時(shí)，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為$\frac{9}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，同時(shí)考查中位數(shù)和平均數(shù)的定義，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．