設(shè)an是(1+
x
)n的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)（n=2，3，4，…），則
lim
n→∞
(
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
)=
2
2
．
分析：由題意可知：an=
C
2
n
=
n(n+1)
2
，故
1
an
=
2
n(n+1)
=2（
1
n
-
1
n+1
），于是
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
=2[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）]，
lim
n→∞
(
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
)的值可求．
解答：解：∵an是(1+
x
)n的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)（n=2，3，4，…），
∴an=
C
2
n
=
n(n+1)
2
，
∴
1
an
=
2
n(n+1)
=2（
1
n
-
1
n+1
），
∴是
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
=2[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）]=2（1-
1
n+1
），
∴
lim
n→∞
(
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
)=
lim
n→∞
2(1-
1
n+1
)=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及極限及其運(yùn)算，著重考查裂項(xiàng)法求和及極限求值，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an是(3-
x
)n的二項(xiàng)展開式中x的系數(shù)，設(shè)bn=
3n
an
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則an=
1，n=1
n(n-1)
2
•3n-2，n≥2
1，n=1
n(n-1)
2
•3n-2，n≥2
，T99=
229
11
229
11
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)an是關(guān)于x的方程xn+nx-1=0（n∈N*，x∈（0，+∞））的根．試證明：
（1）an∈（0，1）；
（2）an+1＜an；
（3）a12+a22+…+an2＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)an是關(guān)于x的方程xn+nx-1=0（n∈N*，x∈（0，+∞））的根．試證明：
（1）an∈（0，1）；
（2）an+1＜an；
（3）a12+a22+…+an2＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)an是關(guān)于x的方程xn+nx-1=0（n∈N*，x∈（0，+∞））的根．試證明：
（1）an∈（0，1）；
（2）an+1＜an；
（3）a12+a22+…+an2＜1．

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