Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n-2
（1）求（x-2y+3z） a3展開(kāi)式中形如Ax⁴yz^t的項(xiàng)的系數(shù)A；
（2）記b_n=

1

3

（a_n+2），求證：（C

0 bn

）²+（C

1 bn

）²+（C

2 bn

）²+…+（C

bn 2bn

）²=C

bn 2bn

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n-2，可得a₃=7，
故（x-2y+3z）⁷的 展開(kāi)式中形如Ax⁴yz^t的項(xiàng)的系數(shù)A為（

C

4 7

×1）•

C

1 3

×(-2)•（

C

2 2

×3²）．
（2）b_n=

1

3

（a_n+2）=n，則等式的左邊為（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²．
比較（a+b）ⁿ（a+b）ⁿ=（a+b）²ⁿ兩邊aⁿbⁿ項(xiàng)的系數(shù)可得（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²=

∁

n 2n

．

解答： （1）解：根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n-2，可得a₃=7，
故（x-2y+3z）⁷的 展開(kāi)式中形如Ax⁴yz^t的項(xiàng)的系數(shù)A為（

C

4 7

×1）•

C

1 3

×(-2)•（

C

2 2

×3²）=-1890．
（2）證明：b_n=

1

3

（a_n+2）=n，則等式的左邊為（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²．
比較（a+b）ⁿ（a+b）ⁿ=（a+b）²ⁿ兩邊aⁿbⁿ項(xiàng)的系數(shù)可得左邊=（

C

0 n

）²+（

C

1 n

）²+（

C

2 n

）²+…+（

C

n 2n

）²=

∁

n 2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．