Question

10．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x，
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，
2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$時，函數(shù)f（x）的取值最小值為-1，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）的取值最大值為2，
故得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍是[-1，2]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．