Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，②?x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．?dāng)?shù)列{a_n}滿足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），Tn=-a12+a22-a32+…+（-1）ⁿ

a

2n

，則T₁₀₀等于（　�。�

A．4900

B．-4900

C．5050

D．-5050

Answer 1

對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因?yàn)閤＞0時，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=

1

f(y)

，同理以f（-x）=

1

f(x)

當(dāng)x＜0時，-x＞0，根據(jù)已知條件得f（-x）＞1，即

1

f(x)

＞1，
變形得0＜f（x）＜1．
綜上所述任意x∈R，f（x）＞0．
設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）f（-x₁）=

f(x2)

f(x1)

＞1，f（x₂）＞f（x₁）
所以函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a_n=n．
T100=(-12+22)+(-32+42) +…(-992+1002)=3+7+…+199=

(3+199)×50

2

=5050．
故選C．