Question

函數(shù)f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，

41

9

）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；　
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，

5

3

]，試確定x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)（2，

41

9

）代入解析式，利用整體思想和a的范圍求出a的值，即求出函數(shù)的解析式；
（2）由（1）和題意得，1≤

1

2

(3x+3-x)≤

5

3

，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出x的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，

41

9

），
所以

1

2

（a²+a^-2）=

41

9

，即9a⁴-82a²+9=0，
解得a2=

1

9

或a²=9，
又a＞0，a≠1，所以a=3，或a=

1

3

，
當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=

1

2

(3x+3-x)，…（4分）
當(dāng)a=

1

3

時(shí)，f(x)=

1

2

[(

1

3

)x+(

1

3

)-x]=

1

2

(3x+3-x)
所以f（x）的解析式為f(x)=

1

2

(3x+3-x)…（6分）
（2）由函數(shù)的值域?yàn)?span id="lwjdbva" class="MathJye">[1，

5

3

]得，則1≤

1

2

(3x+3-x)≤

5

3

，
即

3x+3-x≥2 3x+3-x≤ 10 3

⇒

(3x-1)2≥0 1 3 ≤3x≤3

⇒-1≤x≤1，
所以當(dāng)函數(shù)的值域?yàn)?span id="wyubztn" class="MathJye">[1，

5

3

]，x的取值范圍為[-1，1]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．