Question

6．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個側面都是側棱長為$\sqrt{5}$的等腰三角形．
（Ⅰ）求二面角P-AB-C的大��；
（Ⅱ）在線段AB上是否存在一點E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，請指出點E的位置并證明，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設M，N分別是AB和CD的中點，連接PM，MN，PN，推導出PM⊥AB，MN⊥AB，從而∠PMN為二面角P-AB-C的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的大�。�
（Ⅱ）設E，F(xiàn)，G分別為MB，PN和PC的中點，連接MF，F(xiàn)G，EG，EC，推導出MF⊥PN，CD⊥MF，從而MF⊥平面PCD，推導出四邊形EMFG為平行四邊形，從而EG⊥平面PCD，由此得到存在點E，使平面PCE⊥平面PCD，此時E為線段MB的中點．

解答 解：（Ⅰ）如圖，設M，N分別是AB和CD的中點，連接PM，MN，PN…（1分）
∵PA=PB，M是AB的中點
∴PM⊥AB
又在正方形ABCD中有MN⊥AB
∴∠PMN為二面角P-AB-C的平面角…（3分）
∵$PA=PB=\sqrt{5}$，AB=2，M是AB的中點
∴PM=2
同理可得PN=2，又MN=2
∴△PMN是等邊三角形，故∠PMN=60°
∴二面角P-AB-C為60°，…（5分）
（Ⅱ）存在點E，使平面PCE⊥平面PCD，此時E為線段MB的中點．理由如下 …（6分）
如圖，設E，F(xiàn)，G分別為MB，PN和PC的中點，連接MF，F(xiàn)G，EG，EC…（8分）
由（Ⅰ）知△PMN是等邊三角形，故MF⊥PN
∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N
∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF
又CD∩PN=N
∴MF⊥平面PCD…（10分）
∵F，G分別為PN和PC的中點
∴FG=∥$\frac{1}{2}NC$
又E為線段MB的中點
∴FG=∥ME，故四邊形EMFG為平行四邊形…（11分）
∴EG∥MF
∴EG⊥平面PCD
又EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD．…（12分）

點評 本題考查二面角的大小的求法，考查滿足面面垂直的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．