Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n是S_n和1的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=a_n•log₂a_n+1，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過等差中項的性質(zhì)可知2a_n=S_n+1，并與2a_n-1=S_n-1+1（n≥2）作差，進(jìn)而整理可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）求解得出b_n=a_n•log₂a_n=n•2^n-1，利用錯位相減法求解數(shù)列的和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n和1的等差中項，
∴2a_n=S_n+1，2a_n-1=S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得：2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
又∵2a₁=S₁+1，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，a_n=2^n-1．
∴b_n=a_n•log₂a_n+1=n•2^n-1．
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②得出：-T_n=1+（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-n•2ⁿ=1+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$-n•2ⁿ=（$\frac{1}{2}$-n）×2ⁿ，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-n）×2ⁿ．

點(diǎn)評 本題考察了數(shù)列的和與通項的關(guān)系，利用錯位相減法求解數(shù)列的和，考察了學(xué)生的化簡運(yùn)算能力，屬于難題．