Question

20．若直線2ax-by+4=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則ab的最大值是1．

Answer 1

分析 圓x²+y²+2x-4y+1=0配方為：（x+1）²+（y-2）²=4．圓心C（-1，2），半徑r=2．根據(jù)直線2ax-by+4=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則直線經(jīng)過圓心C，得出關(guān)系再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0配方為：（x+1）²+（y-2）²=4．圓心C（-1，2），半徑r=2．
∵直線2ax-by+4=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，
∴直線經(jīng)過圓心C，可得-2a-2b+4=0，
化為：a+b=2．
∵a＞0，b＞0，
∴2≥2$\sqrt{ab}$，可得ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號．
∴ab的最大值為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓相交弦長問題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．