Question

9．已知x＞0，y＞0，z＞0，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，則下面對(duì)a，b，c三個(gè)數(shù)的判斷中，正確的判斷是（　�。�

• A． 至少有一個(gè)不小于2
• B． 都小于2
• C． 至少有一個(gè)不大于2
• D． 都大于2

Answer 1

分析 假設(shè)a，b，c三數(shù)都小于2，則x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，由均值不等式可得a+b+c≥6，從而推出矛盾．

解答 解：假設(shè)a，b，c三數(shù)都小于2，則x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，
∵x，y，z均大于0，
∴a+b+c=x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$≥2+2+2=6，矛盾．
∴a，b，c至少有一個(gè)不小于2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查反證法的運(yùn)用，用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．