Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，那么f（2）+f（3）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）=2，f（x）的值域為[0，1）．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式可得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，由此可得f（2）+f（3）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）的值，再由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}=1-\frac{1}{1+{x}^{2}}$求得函數(shù)的值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}=\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{1+{x}^{2}}=1$，
則f（2）+f（3）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）=1+1=2；
由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}=1-\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∵1+x²≥1，0$＜\frac{1}{1+{x}^{2}}≤1$，則-1$≤-\frac{1}{1+{x}^{2}}＜0$，
∴f（x）∈[0，1）．
故答案為：2，[0，1）．

點評 本題考查函數(shù)值域及函數(shù)值的求法，訓練了分離常數(shù)法，對于f（2）+f（3）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）的求解，尋找規(guī)律是關鍵，是中檔題．