設(shè)F
1,F(xiàn)
2為橢圓C:

+

=1(m>0)的左、右焦點,點P⊆C且

•

=0,|

|•|

|=4(1)求橢圓C的方程;
(2)作以F
2為圓心,以1為半徑的圓,過動點Q作圓F
2的切線,切點為且使|

|=

|

|,求動點Q的軌跡方程.
【答案】
分析:(1)由a
2=6m
2,b
2=2m
2,知2c
2=4m
2,由

•

=0,知|PF
1|
2+|PF
2|
2=(2c)
2=16m
2,由橢圓定義知

,由此能得到所求的橢圓方程.
(2)由F
1(-2,0),F(xiàn)
2(2,0),設(shè)Q(x,y),知

,(x+2)
2+y
2=2[(x-2)
2+y
2-1],由此能得到所求的軌跡方程.
解答:解:(1)∵a
2=6m
2,b
2=2m
2,
∴2c
2=4m
2,
∵


•

=0,
∴|PF
1|
2+|PF
2|
2=(2c)
2=16m
2,
由橢圓定義知,

,
∴16m
2+8=24m
2,
∴m
2=1,
故所求的橢圓方程為

.
(2)由(1)知F
1(-2,0),F(xiàn)
2(2,0),設(shè)Q(x,y),
∵

,
∴

,
∴(x+2)
2+y
2=2[(x-2)
2+y
2-1],
化簡,得(x-6)
2+y
2=34,
故所求的軌跡方程為(x-6)
2+y
2=34.
點評:本題考查橢圓的方程和點的軌跡方程,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:

設(shè)F
1,F(xiàn)
2為橢圓C:
+
=1(m>0)的左、右焦點,點P⊆C且
•
=0,|
|•|
|=4(1)求橢圓C的方程;
(2)作以F
2為圓心,以1為半徑的圓,過動點Q作圓F
2的切線,切點為且使|
|=
|
|,求動點Q的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知橢圓C的中心在原點,長軸的一個頂點坐標為(2,0),離心率為
.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設(shè)F
1,F(xiàn)
2為橢圓C的焦點,P為橢圓上一點,且PF
1⊥PF
2,求△PF
1F
2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
設(shè)F
1,F(xiàn)
2是橢圓C:
+=1的焦點,P 為橢圓上一點,則△PF
1F
2的周長為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2008-2009學(xué)年北京市西城區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點,長軸的一個頂點坐標為(2,0),離心率為

.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設(shè)F
1,F(xiàn)
2為橢圓C的焦點,P為橢圓上一點,且PF
1⊥PF
2,求△PF
1F
2的面積.
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