Question

已知函數(shù)，g（x）=x²-2mx+4。
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥ g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）

由f'（x）>0得：1＜x＜3，由f'（x）＜0得：0＜x＜1或x>3
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，3）；單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（3，+∞）。
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上遞減，在區(qū)間（1，2）上遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值為
由于“對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥ g（x₂）”等價于“g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值不大于f（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值
因此
又g（x）=（x-m）²+4-m²，x∈[1，2]，
∴①當(dāng)m＜1時，[g（x）]_min=g（1）=5-2m>0，與（*）矛盾；
②當(dāng)m∈[1，2]時，[g（x）]_min=4-m²≥0，與（*）矛盾；
③當(dāng)m>2時，
綜上知，m的取值范圍是。