Question

1．四棱錐P-ABCD中，PC=AB=1，BC=2，∠ABC=60°，底面ABCD為平行四邊形，PC⊥平面ABCD，點M，N分別為AD，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAB；
（2）求三棱錐B-PMN的體積．

Answer 1

分析 （1）取PB中點Q，連結(jié)QN，QA，推導(dǎo)出四邊形AMNQ為平行四邊形，從而MN∥AQ，由此能證明MN∥平面PAB；
（2）三棱錐B-PMN的體積${V}_{B-PMN}={V}_{P-BMN}=\frac{1}{2}{{V}_{P-BMC}}^{\;}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取PB中點Q，連結(jié)QN，QA，
∵底面ABCD為平行四邊形，點M，N分別為AD，PC的中點．
∴QN是中位線，
∴AD∥BC∥QN，
又M是AD中點，∴QN=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AM$，
∴四邊形AMNQ為平行四邊形，∴MN∥AQ，
又MN?平面PAB，AQ?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
解：（2）∵PC⊥平面ABCD，N為PC中點，
∴三棱錐B-PMN的體積：
${V}_{B-PMN}={V}_{P-BMN}=\frac{1}{2}{{V}_{P-BMC}}^{\;}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S}_{△BMC}×PC$
=$\frac{1}{6}×2×2×sin60°×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．