Question

設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），且離心率e=

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上下兩頂點(diǎn)分別為A，B，直線y=kx+2交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線PB與直線y=

1

2

交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：A，M，Q三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c=1 c a = 2 2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此利用韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件能證明A，M，Q三點(diǎn)共線．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），
且離心率e=

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=2-1=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：聯(lián)立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（2k²+1）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1 +x2=-

8k

2k2+1

，x₁x₂=

6

2k2+1

，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直線BP：y+1=

y1+1

x1

x，直線AQ：y-1=

y2-1

x2

x ，
∵直線PB與直線y=

1

2

交于點(diǎn)M，∴M（

3

2

•

x1

y1+1

，

1

2

），
把M（

3

2

•

x1

y1+1

，

1

2

）代入直線AQ，得：
-

1

2

=

y2-1

x2

•

3

2

•

x1

y1+1

=

3

2

•

x1y2-x1

x2y1+x2

=

3

2

•

x1(kx2+2)-x1

x2(kx1+2)+x2

=

3

2

•

kx1x2+x1

kx1x2+3x2

=

3

2

•

6k 2k2+1 +x1

6k 2k2+1 +3x2

=

3

2

•

6k+(2k2+1)x1

6k+(6k2+3)x2

=

3

2

•

-2k-(2k2+1)x2

6k+(6k2+3)x2

=-

1

2

，成立．
∴A，M，Q三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三點(diǎn)共線的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．