Question

14．一臺機器使用的時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)的零件中有缺點的零件數(shù)隨機器運轉(zhuǎn)的速度而變化，如表為抽樣數(shù)據(jù)：

轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒）	16	14	12	8
每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y（件）	11	9	8	5

（Ⅰ）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（Ⅱ）根據(jù)散點圖判斷，y=ax+b與$y=c\sqrt{x}+d$哪一個適宜作為每小時生產(chǎn)的零件中有缺點的零件數(shù)y關(guān)于轉(zhuǎn)速x的回歸方程類型 （給出判斷即可，不必說明理由），根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）若實際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的零件中有缺點的零件數(shù)最多為10個，那么機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在什么范圍內(nèi)？
（參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，畫出散點圖即可；
（Ⅱ）根據(jù)散點圖求出和規(guī)范性方程中的系數(shù)，從而求出回歸方程即可；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式，求出滿足條件的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）所作散點圖如圖：

…（2）
（Ⅱ）根據(jù)散點圖可判斷y=ax+b適宜作為每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y關(guān)于轉(zhuǎn)速x的擬合模型．
…（3分）
相關(guān)數(shù)據(jù)處理如下表：

xi	16	14	12	8	$\overline x=12.5$
yi	11	9	8	5	$\overline y=8.25$
${x_i}^2$	256	196	144	64	$\sum_{i=1}^4{{x_i}^2}=660$
xiyi	176	126	96	40	$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=438$

…（6分）
所以$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{438-4×8.25×12.5}{{660-4×{{12.5}^2}}}$
=0.73．…（8分）
此時，$\hat a=\overline y-b\overline x$=8.25-0.73×12.5=-0.875．…（9分）
于是得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程為：$\hat y=0.73x-0.875$．…（10分）
（Ⅲ）由題意可得：$\hat y=0.73x-0.875≤10$，解得x≤14.9，
所以機器的運轉(zhuǎn)速度不能超過14.9轉(zhuǎn)/秒．…（12分）

點評 本小題主要考查散點圖、線性與非線回歸方程判定、線性回歸方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力與應用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．