Question

4．P為雙曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左、右焦點(diǎn)，若|PF₁|+|PF₂|=10，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=18．

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，及兩點(diǎn)之間距離公式，由P在橢圓上，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案．

解答 解：設(shè)P（x，y），由F₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，即F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，y）（2-x，y）=-（4-x²）+y²=-4+x²+y²，
由P在雙曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²-y²=3，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-4+x²+y²=4x²-7，
設(shè)丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨=$\sqrt{（-2-x）^{2}+{y}^{2}}$，丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=$\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}}$，
則丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=$\sqrt{（2+x）^{2}+{y}^{2}}$+=$\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}}$=10，
將3x²-y²=3，代入上式，
解得x=$\frac{5}{2}$，
故$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-4+x²+y²=4x²-7=25-7=18，
故答案為：18，

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩點(diǎn)之間的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．