Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y=0，若圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上截距相等，求切線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，分兩種情況考慮，當(dāng)a=b=0時(shí)，切線(xiàn)方程設(shè)為y=kx，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)切線(xiàn)方程；當(dāng)a=b≠0時(shí)，設(shè)出切線(xiàn)的截距式方程，同理求出a與b的值，即可確定出此時(shí)的切線(xiàn)方程．

解答：解：圓x²+y²+2x-4y=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=5，
∴圓心C（-1，2），半徑r=

5

，
設(shè)圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上的截距分別為a，b，
當(dāng)a=b=0時(shí)，切線(xiàn)方程可設(shè)為y=kx，即kx-y=0，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得：

5

=

|-k-2|

k2+1

，
解得：k=

1

2

，
此時(shí)切線(xiàn)的方程是y=

1

2

x；
當(dāng)a=b≠0時(shí)，切線(xiàn)方程為

x

a

+

y

b

=1，即x+y-a=0，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得：

5

=

|-1+2-a|

12+12

，
解得：a=1±

10

，
此時(shí)切線(xiàn)的方程為x+y-1±

10

=0，
綜上，所求切線(xiàn)方程為y=

1

2

x或x+y-1±

10

=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，直線(xiàn)的一般式方程，以及直線(xiàn)的截距式方程，利用了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．