Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=p-1（p為常數(shù)，|p|＜1，p≠0），當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是以p為公比的等比數(shù)列，{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1）
（1）試問S₁，S₂，…，S_n能否構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列？
（2）設(shè)W_n=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n，證明

lim

n→∞

W_n＞

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得an=

1，n=1 (p-1)•pn-2，n≥2

．由此得以Sn=pn-1，n∈N^*，所以S₁，S₂，…，S_n能構(gòu)成等比數(shù)列，不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（2）由a_nS_n=（p-1）•p^n-2•p^n-1=（p-1）•p^2n-3=p^2n-2-p^2n-3，n≥2得W_n=1+

1-p2n

1-p2

-

1 p (1-p2n)

1-p2

，由此能證明

lim

n→∞

W_n＞

1

2

．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=p-1（p為常數(shù)，|p|＜1，p≠0），
當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是以p為公比的等比數(shù)列，
∴an=

1，n=1 (p-1)•pn-2，n≥2

．
p=1時(shí)，不合題意，∴p≠1．
∴S_n=

1，n=1 1+ (p-1)(1-pn-1) 1-p ，n≥2

=

1，n=1 pn-1，n≥2

，
∴Sn=pn-1，n∈N^*
∵p為常數(shù)，|p|＜1，p≠0，
∴S₁，S₂，…，S_n能構(gòu)成等比數(shù)列，不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（2）證明：∵a_nS_n=（p-1）•p^n-2•p^n-1=（p-1）•p^2n-3=p^2n-2-p^2n-3，n≥2
∴W_n=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n=1+1-p^-1+p²-p+p⁴-p³+p⁶-p⁵+…+p^2n-2-p^2n-3
=1+（p⁰+p²+p⁴+p⁶+…+p^2n-2）-（p^-1+p+p³+p⁵+…+p^2n-3）
=1+

1-p2n

1-p2

-

1 p (1-p2n)

1-p2

，
∴

lim

n→∞

W_n=1+

1- 1 q

1-q2

=1+

q-1

q-q3

=1-

1

q(1+q)

＞

1

2

．
∴

lim

n→∞

W_n＞

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考是等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極限的合理運(yùn)用．