已知圓的方程為,過點作直線與圓交于、兩點。
(1)若坐標原點O到直線AB的距離為,求直線AB的方程;
(2)當△的面積最大時,求直線AB的斜率;
(3)如圖所示過點作兩條直線與圓O分別交于R、S,若,且兩角均為正角,試問直線RS的斜率是否為定值,并說明理由。
(1)直線AB的方程為;
(2) 時△面積最大,此時直線AB的斜率為 ;
(3)直線RS的斜率為定值。
【解析】
試題分析:(1)設過點的直線方程為,∵原點到直線AB的距離為,∴則,∴直線AB的方程為 4′
(2)直線AB的方程:代入圓的方程得
由韋達定理得,
∵ 7′
∴當時,即時△面積最大,此時直線AB的斜率為 10′
(3)設點,將直線RS的方程,代入圓的方程得
由韋達定理得①
,則
即(*),
又∵②
則①②代入(*)式整理得,即,當時,
直線RS過定點不成立,故直線RS的斜率為定值 16′
(注:若用其他正確的方法請酌情給分)
考點:本題主要考查直線方程,直線與圓的位置關系,兩角和的正切公式。
點評:中檔題,研究直線與圓的位置關系,半徑、弦長一半、圓心到直線的距離所構成的“特征三角形”是重點,另外,通過構建方程組,得到一元二次方程后,應用韋達定理,實現整體代換較為普遍。本題考查知識覆蓋面廣,對考生計算能力、數形結合思想有較好考查。
科目:高中數學 來源:2012-2013學年四川省綿陽市南山中學高二12月月考理科數學試卷(帶解析) 題型:解答題
已知圓的方程為,直線過點,且與圓相切.
(1)求直線的方程;
(2)設圓與軸交于兩點,是圓上異于的任意一點,過點且與軸垂直的直線為,直線交直線于點,直線交直線于點.求證:的外接圓總過定點,并求出定點坐標.
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科目:高中數學 來源:2015屆廣東省高一下學期期中考試理科數學試卷(解析版) 題型:填空題
已知圓的方程為,過點的直線與圓交于兩點,若使最小,則直線的方程是________________
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年山東省高三第一次(3月)周測理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知圓的方程為,過點作圓的兩條切線,切點分別為、,直線恰好經過橢圓的右頂點和上頂點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設是橢圓(垂直于軸的一條弦,所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點,直線、分別交定直線于兩點、,求證.
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