已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、,直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是橢圓（垂直于軸的一條弦，所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交定直線于兩點(diǎn)、，求證.

 

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）聯(lián)立方程組表示出向量,再證.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 觀察知，是圓的一條切線，切點(diǎn)為，

設(shè)為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，，

所以， 所以直線的方程為.

線與軸相交于，依題意，所求橢圓的方程為 

（Ⅱ） 橢圓方程為，設(shè)

則有，

在直線的方程中，令，整理得

           ①

同理，     ②

①②，并將代入得

 

===.

而=   

∵且，∴

∴

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，難度較大．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知圓的方程為,直線過(guò)點(diǎn),且與圓相切.
(1)求直線的方程;
(2)設(shè)圓與軸交于兩點(diǎn),是圓上異于的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線為,直線交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn).求證:的外接圓總過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若使最小，則直線的方程是________________

 

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已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于、兩點(diǎn)。

(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為，求直線AB的方程；

(2)當(dāng)△的面積最大時(shí)，求直線AB的斜率；

(3)如圖所示過(guò)點(diǎn)作兩條直線與圓O分別交于R、S,若，且兩角均為正角，試問(wèn)直線RS的斜率是否為定值，并說(shuō)明理由。

 

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