Question

如圖，四棱錐的底面是矩形，，且側(cè)面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為45°.若存在，試求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）45°.

第一問(wèn)先利用取中點(diǎn)，由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面，然后以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的數(shù)量積公式得到證明。
第二問(wèn)中，假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，不妨設(shè)，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為則得到平面的一個(gè)法向量.，
又面的法向量可以是向量的夾角公式，表示出二面角，從而解得。
取中點(diǎn)，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則……………………………2分

（Ⅰ）證明：∵
……………………………………………………………………4分
∴，
∴，即.…………………………………6分
（Ⅱ）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，不妨設(shè)
，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………………………8分
∴
設(shè)是平面的法向量，則

不妨取，則得到平面的一個(gè)法向量.…………………10分
又面的法向量可以是
要使二面角的大小等于45°，
則45°=
可解得，即
故在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，使得二面角的大小等于45°. ………12分