Question

已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，一條漸近線為y=

4

3

x，實(shí)軸長為12，
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以雙曲線C的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件知

b a = 4 3 2a=12

，由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意知所求橢圓的頂點(diǎn)是（±10，0），焦點(diǎn)是（±6，0），由此能求出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0．
∵一條漸近線為y=

4

3

x，實(shí)軸長為12，
∴

b a = 4 3 2a=12

，解得a=6，b=8，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

36

-

y2

64

=1．
（2）雙曲線的

x2

36

-

y2

64

=1頂點(diǎn)為（±6，0），焦點(diǎn)為（±10，0），
∴所求橢圓的頂點(diǎn)是（±10，0），焦點(diǎn)是（±6，0），
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

100

+

y2

64

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，要熟練掌握圓錐曲線的簡單性質(zhì)．