Question

14．已知各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$，n∈N*，其中a₁=1，S_n為其前n項的和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\left\{{\left.{\frac{1}{S_n}}\right\}}\right.$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件推出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，然后求解通項公式；
（Ⅱ）利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$即a_n+1-a_n=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，…2分
∴a_n=n…3分
（Ⅱ）${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$…5分
∴${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=2[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}]$
=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$…7分
=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$…9分．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列求和的方法的應(yīng)用，考查計算能力．