【題目】關(guān)于函數(shù) 有以下四個(gè)命題:

①對(duì)于任意的,都有; ②函數(shù)是偶函數(shù);

③若為一個(gè)非零有理數(shù),則對(duì)任意恒成立;

④在圖象上存在三個(gè)點(diǎn),,,使得為等邊三角形.其中正確命題的序號(hào)是__________

【答案】①②③④

【解析】

①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,可得不論x是有理數(shù)還是無理數(shù),均有ffx))=1;

②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,可得fx)是偶函數(shù);

③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)可判斷;

④取x1,x2=0,x3,可得A,0),B(0,1),C,0),三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形,即可判斷.

①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),fx)=1;當(dāng)x為無理數(shù)時(shí),fx)=0,

∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),ffx))=f(1)=1;當(dāng)x為無理數(shù)時(shí),ffx))=f(0)=1,

即不論x是有理數(shù)還是無理數(shù),均有ffx))=1,故①正確;

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù),

∴對(duì)任意x∈R,都有f(﹣x)=fx),fx)為偶函數(shù),故②正確;

③由于非零有理數(shù)T,若x是有理數(shù),則x+T是有理數(shù);

x是無理數(shù),則x+T是無理數(shù),

∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T

fx+T)=fx)對(duì)x∈R恒成立,故③正確;

④取x1,x2=0,x3,可得fx1)=0,fx2)=1,fx3)=0,

A,0),B(0,1),C,0),恰好△ABC為等邊三角形,故④正確.

故答案為:①②③④.

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