Question

8．設(shè)f（x）=xlnx，g（x）=x²-1．
（1）求證：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）-mg（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）記$h（x）=f（x）-\frac{1}{2}g（x）（x≥1）$，求出h′（x）=lnx+1-x，h''（x）=$\frac{1}{x}$≤0，（x≥1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）．
（2）x≥1時(shí)，f（x）-mg（x）≤0恒成立等價(jià)于x≥1時(shí)，$lnx-m（x-\frac{1}{x}）≤0$恒成立，記$F（x）=lnx-m（x-\frac{1}{x}）（x≥1）⇒F'（x）=\frac{{-m{x^2}+x-m}}{x^2}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵f（x）=xlnx，g（x）=x²-1．
記$h（x）=f（x）-\frac{1}{2}g（x）（x≥1）$，
∴h′（x）=lnx+1-x，h''（x）=$\frac{1}{x}$≤0，（x≥1），
∴h'（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴h'（x）≤h'（1）=0，∴h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（1）=0，即當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）．
解：（2）由（1）知x≥1時(shí)，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）≤mg（x），滿足題意；
x≥1時(shí)，f（x）-mg（x）≤0恒成立等價(jià)于x≥1時(shí)，$lnx-m（x-\frac{1}{x}）≤0$恒成立
記$F（x）=lnx-m（x-\frac{1}{x}）（x≥1）⇒F'（x）=\frac{{-m{x^2}+x-m}}{x^2}$
令F'（x）=0得${x_1}=\frac{{1+\sqrt{1-4{m^2}}}}{2m}，{x_2}=\frac{{1-\sqrt{1-4{m^2}}}}{2m}$
由題意知x₁＞1＞x₂＞0，
∴x∈（1，x₁），F(xiàn)'（x）＞0，∴x∈（x₁，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，
∴F（x）在（1，x₁）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x₁，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴F_max（x）=F（x₁）＞F（1）=0不合題意；
當(dāng)m≤0，x＞1時(shí)，f（x）-mg（x）＞0不合題意
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|$m≥\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．