Question

20．設(shè)平面內(nèi)兩向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$互相垂直，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，又k與t是兩個不同時為零的實數(shù)．
（1）若$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t-3）$\overrightarrow$與$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$垂直，試求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（2）求函數(shù)k=f（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運算便可得出-4k+t²-3t=0，從而得出k關(guān)于t的關(guān)系式；
（2）由$k=\frac{1}{4}（{t}^{2}-3t）$配方，便可求出k的最小值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
又$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$；
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，即：
$[\overrightarrow{a}+（t-3）\overrightarrow]•（-k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）$
=$-k{\overrightarrow{a}}^{2}-k（t-3）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$+t（t-3）{\overrightarrow}^{2}$
=-4k+0+0+t²-3t
=0；
∴-4k+t²-3t=0，即k=$\frac{1}{4}$（t²-3t）；
（2）由（1）知k=$\frac{1}{4}$（t²-3t）=$\frac{1}{4}（t-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{9}{16}$；
即函數(shù)的最小值為-$\frac{9}{16}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算，以及配方法求二次函數(shù)的最值．