Question

已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），B（

1

2

，

3

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求x²₀+2y₀的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)所求的橢圓方程為mx²+nb²=1，（m，n＞0）．把兩點(diǎn)A（0，2），B（

1

2

，

3

）代入解出即可；
（2）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓的方程，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為mx²+nb²=1，（m，n＞0）．
由于橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），B（

1

2

，

3

），
∴

0+4n=1 m 4 +3n=1

，解得m=1，n=

1

4

，
因此所求橢圓C的方程為：

y2

4

+x2=1．
（2）∵P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，∴

y20

4

+x20=1．
∴x

2 0

+2y₀=1-

y 2 0

4

+2y₀=-

1

4

(y0-4)2+5，-2≤y0≤2
當(dāng)y₀=2時(shí)，

x

2 0

+2y0取最大值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．