Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

[f（1）+f（3）]，若a＞0且f（x-1）=f（-x-1），g（x）在區(qū)間[-2，2]上最大值為-1，求g（x）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中a＞0且f（x-1）=f（-x-1），可得函數(shù)f（x），g（x）的圖象關(guān)于直線x=-

b

2a

=-1對稱；結(jié)合g（x）在區(qū)間[-2，2]上最大值為-1，構(gòu)造方程求出a，b值，代入可得g（x）的表達(dá)式．

解答： 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（x-1）=f（-x-1），
故函數(shù)f（x），g（x）的圖象關(guān)于直線x=-

b

2a

=-1對稱，即b=2a，
又∵a＞0，
故在區(qū)間[-2，2]上，
當(dāng)x=2，g（x）max=f（2）-

1

2

[f（1）+f（3）]=4a+2b+c-

1

2

[（a+b+c）+（9a+3b+c）]=-a=-1
解得a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+c，
∴f（1）=3+c，f（3）=15+c，
∴g（x）=f（x）-

1

2

[f（1）+f（3）]
=x²+2x+c-

1

2

（3+c+15+c）
=x²+2x-9，
即g（x）=x²+2x-9．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)的對稱性，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a，b的方程是解答的關(guān)鍵．