Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若對任意， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫切線方程（2）先將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值： ,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值為；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)， ，分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而確定單調(diào)性，最后由單調(diào)性確定最值取法，解對應(yīng)不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）依題意， ， ，故，

又，故所求切線方程為，即；

（2）令，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ．

當(dāng)變化時， ， 的變化情況如下表：

	單調(diào)減	單調(diào)增	單調(diào)減

因?yàn)?/span>， ，所以時，函數(shù)的最小值為；

因?yàn)?/span>． 因?yàn)?/span>，令得， ， ．

（�。┊�(dāng)，即時，在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)．由得， ，所以．

（ⅱ）當(dāng)，即時, 在上，在上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由得， ，所以．

綜上所述， 的取值范圍是.