Question

函數(shù)f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ） 當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f(x)-1≥a(1-

1

x

)；
（Ⅱ） 在區(qū)間（1，e）上f（x）＞x恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（Ⅲ） 當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求證：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-

n+1

）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值即可證明；
（II）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即a＞

x-1

lnx

，令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最大值即可；
（III）由第一問(wèn)得知lnx≥1-

1

x

，則ln

n

≥1-

1

n

，然后利用“累加求和”即可證明．

解答：（ I）證明：設(shè)φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)
令φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，則x=1，即φ（x）在x=1處取到最小值，
則φ（x）≥φ（1）=0，即原結(jié)論成立．
（ II）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x
即a＞

x-1

lnx

，
令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

令h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
則h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h(yuǎn)（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）單調(diào)遞增，則g（x）的最大值為g（e）=e-1
所以a的取值范圍為[e-1，+∞）．
（ III）證明：由第一問(wèn)得知lnx≥1-

1

x

，則ln

n

≥1-

1

n

則f(2)+f(3)+…+f(n+1)=

1

2

(ln2+ln3+…+ln(n+1))+n
=ln

2

+ln

3

+…+ln

n+1

+n≥1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

+n
=2n-2(

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n+1

)＞2n-2(

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+…+

1

n + n+1

)
=2n-2[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)]
=2n-2（

n+1

-1）=2(n+1-

n+1

)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最大值，及恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)法，“累加求和”等方法．