Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x．
（1）已知f（x）滿足下面兩個條件，求a的取值范圍．
①在（-∞，1]上存在極值，
②對于任意的θ∈R，c∈R直線l：xsinθ+2y+c=0都不是函數(shù)y=f（x）（x∈（-1，+∞））圖象的切線；
（2）若點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數(shù)y=f（x）圖象上三點(diǎn)，且2x₂=x₁+x₃，當(dāng)a＞0時，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)：f'（x）=-

a+1+ex

1+ex

，接下來考慮條件①：（i）當(dāng)a≥-1時，可得f'（x）＜0，f（x）在R上單調(diào)減，與題意不符；（ii）當(dāng)a＜-1時，可得f'（x）≤0的解集為{x|x≥ln（-a-1）}，討論f'（x）的符號，得到x₀=ln（-a-1）是f（x）的極大值點(diǎn)，結(jié)合題意得ln（-a-1）＜1，所以a∈（-1-e，-1）．再考慮條件②：找出當(dāng)a∈（-e-1，-1）時，滿足條件②的a的取值范圍，通過討論f′（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，而f'（1）=-1-

a

1+e

，f′（x）在（1，+∞）上無限的趨近于-1，可得f'（x）∈（-1，-1-

a

1+e

）．最后根據(jù)直線 l 的斜率k=-

1

2

sinθ≤-

1

2

且直線 l 不是函數(shù)f（x）圖象的切線，得到-1-

a

1+ex

≤-

1

2

在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤e^x，由此可得a≥-

1+e

2

．最后綜上所述可得a的取值范圍是[-

1+e

2

，-1）．
（2）根據(jù)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，由（1）的討論得f（x）在R上單調(diào)減，f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），且x₂=

x1+x3

2

，由此可用反證法證明A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點(diǎn)不共線．接下來用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)表達(dá)式證出

BA

•

BC

＜0，可得△ABC是中B為鈍角．若△ABC能是等腰三角形，只能是|

BA

|=|

BC

|，代入所設(shè)的數(shù)據(jù)，并且化簡整理，可得e2x2=ex1+ex3，最后用基本不等式得到 ex1=ex3，與x₁＜x₃矛盾，因此可得△ABC不可能為等腰三角形．

解答：解：（1）f'（x）=a•

ex

1+ex

-a-1=-

a+1+ex

1+ex

，接下來分兩步：
㈠、先考慮條件①：
（i）當(dāng)a+1≥0時，即a≥-1時，可得f'（x）＜0在R上恒成立，故f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上為減函數(shù)，與題意不符．
（ii）當(dāng)a+1＜0時，即a＜-1時，可得f'（x）≤0的解集為{x|x≥ln（-a-1）}，
此時f（x）在（ln（-a-1），+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，ln（-a-1））上單調(diào)遞增，
從而x₀=ln（-a-1）是f（x）的極大值點(diǎn)，結(jié)合題意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，所以a∈（-1-e，-1）．
㈡、下面找出當(dāng)a∈（-e-1，-1）時，滿足條件②的a的取值范圍．
又∵f'（x）=-

a+1+ex

1+ex

=-1-

a

1+ex

，
設(shè)g（x）=-1-

a

1+ex

，則g'（x）=

aex

(1+ex)2

＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，而f'（1）=-1-

a

1+e

，
結(jié)合f′（x）在（1，+∞）上連續(xù)，當(dāng)x無限的趨近于+∞時，f′（x）無限的趨近于-1，
可得f'（x）∈（-1，-1-

a

1+e

）．
直線 l 的斜率k=-

1

2

sinθ，則 |k|≤

1

2

．
∵直線 l 不是函數(shù)f（x）圖象的切線，
∴-1-

a

1+ex

≤-

1

2

在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤e^x在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥-

1+e

2

．
綜上所述，a的取值范圍是[-

1+e

2

，-1）．
（2）由（1）知，a＞0時，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），
∴不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，可得f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=

x1+x3

2

，
下面用反證法說明A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點(diǎn)不共線：
若A、B、C三點(diǎn)共線，則有f（x₂）=

1

2

（f（x₁）+f（x₃））
所以 2ex2=ex1+ex3≥2

ex1•ex3

，得x₁=x₃與x₁＜x₂＜x₃矛盾．
接下來說明角B是鈍角：

BA

=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x₂）），

BC

=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂））
∴

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+[f（x₁）-f（x₂）][f（x₃）-f（x₂）]
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0，可得∠B∈（

π

2

，π），即△ABC是中B為鈍角．
假設(shè)△ABC為等腰三角形，只能是 |

BA

|=|

BC

|
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²
∵x₂-x₁=x₃-x₂，∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
結(jié)合f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），化簡得2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃），
也就是2aln（1+ex2）-2（a+1）x₂=aln（1+ex1）（1+ex3）-（a+1）（x₁+x₃）
將2x₂=x₁+x₃代入即得：2aln（1+ex2）-2（a+1）x₂=aln（1+ex1）（1+ex3）-2（a+1）x₂，
∴2ln（1+ex2）=ln（1+ex1）（1+ex3）?（1+ex2）²=（1+ex1）（1+ex3），
可得e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?e2x2=ex1+ex3①
而事實上，若①成立，根據(jù)ex1+ex3≥2

ex1•ex3

=2ex2，
必然得到 ex1=ex3，與x₁＜x₃矛盾．
所以△ABC不可能為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題綜合了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和直角坐標(biāo)系中判斷三角形的形狀等知識點(diǎn)，屬于難題．