Question

2．在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)，a＞0）過點(diǎn)P（$\frac{3}{2}，\sqrt{3}$），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
（Ⅰ）求曲線C₁與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在C₁上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線l的距離最小，求出最小距離及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），cos²θ+sin²θ=1，可得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$，把$P（\frac{3}{2}，\sqrt{3}）$代入方程即可得出．直線l的極坐標(biāo)方程為$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$，將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程．
（II）由橢圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），可設(shè)點(diǎn)M（3cosθ，2sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)M到直線的距離為$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos（θ-{θ_0}）-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$．利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（I）∵曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），cos²θ+sin²θ=1，
∴$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$，
∵$P（\frac{3}{2}，\sqrt{3}）$在曲線C₁上，則代入方程有a²=4，
∴${C_1}：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
∵直線l的極坐標(biāo)方程為$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$，將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程x+2y-10=0．
（II）∵橢圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），
∴可設(shè)點(diǎn)M（3cosθ，2sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)M到直線的距離為$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos（θ-{θ_0}）-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$．
其中$cos{θ_0}=\frac{3}{5}$，$sin{θ_0}=\frac{4}{5}$，由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)θ-θ₀=0時(shí)，d取最小值為${d_{min}}=\sqrt{5}$．
此時(shí)$3cosθ=3cos{θ_0}=\frac{9}{5}$，$2sinθ=2sin{θ_0}=\frac{8}{5}$，
即點(diǎn)$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．