2.在直角坐標(biāo)系中,曲線C1:$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}$(θ為參數(shù),a>0)過點(diǎn)P($\frac{3}{2},\sqrt{3}$),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$.
(Ⅰ)求曲線C1與直線l的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在C1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到直線l的距離最小,求出最小距離及點(diǎn)M的坐標(biāo).

分析 (I)由曲線${C_1}:\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$(θ為參數(shù)),cos2θ+sin2θ=1,可得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$,把$P(\frac{3}{2},\sqrt{3})$代入方程即可得出.直線l的極坐標(biāo)方程為$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$,將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ可得:ρcosθ+2ρsinθ=10,利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程.
(II)由橢圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$(θ為參數(shù)),可設(shè)點(diǎn)M(3cosθ,2sinθ),由點(diǎn)到直線的距離公式,點(diǎn)M到直線的距離為$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos(θ-{θ_0})-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$.利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出.

解答 解:(I)∵曲線${C_1}:\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$(θ為參數(shù)),cos2θ+sin2θ=1,
∴$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$,
∵$P(\frac{3}{2},\sqrt{3})$在曲線C1上,則代入方程有a2=4,
∴${C_1}:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$.
∵直線l的極坐標(biāo)方程為$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$,將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ可得:ρcosθ+2ρsinθ=10,
∴直線l的直角坐標(biāo)方程x+2y-10=0.
(II)∵橢圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$(θ為參數(shù)),
∴可設(shè)點(diǎn)M(3cosθ,2sinθ),由點(diǎn)到直線的距離公式,點(diǎn)M到直線的距離為$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos(θ-{θ_0})-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$.
其中$cos{θ_0}=\frac{3}{5}$,$sin{θ_0}=\frac{4}{5}$,由三角函數(shù)性質(zhì)知,當(dāng)θ-θ0=0時(shí),d取最小值為${d_{min}}=\sqrt{5}$.
此時(shí)$3cosθ=3cos{θ_0}=\frac{9}{5}$,$2sinθ=2sin{θ_0}=\frac{8}{5}$,
即點(diǎn)$M(\frac{9}{5},\frac{8}{5})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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