7.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差不為0的等差數(shù)列,且a1,a2,a4成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$,Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:Sn<1.

分析 (I)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0,由a1,a2,a4成等比數(shù)列.可得${a}_{2}^{2}$=a1a4,即(1+d)2=1×(1+3d),解得d即可得出.
(II)bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 (I)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0,∵a1,a2,a4成等比數(shù)列.
∴${a}_{2}^{2}$=a1a4,∴(1+d)2=1×(1+3d),解得d=1.
∴an=1+(n-1)×1=n.
(II)證明:bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=1-$\frac{1}{n+1}$<1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.在等差數(shù)列{an}中,a1,a4031是函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}$-4x2+6x-1的極值點(diǎn),則log2a2016的值是( 。
A.5B.4C.3D.2

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18.已知二次函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(-2+x)=f(-2-x),f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為4,且方程f(x)=x有唯一的解,求f(x)的表達(dá)式.

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15.已知函數(shù)f(x)=ax-xlna+alnx-1(a>0,且a≠1),給出下列結(jié)論:
①函數(shù)f(x)為定義域上的增函數(shù);
②當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn);
③對(duì)任意x∈[1,e],都有f(x)≥$\frac{1}{e}$恒成立的充要條件為a∈[$\frac{1}{e}$,1);
④設(shè)g(x)=f(x)-ax,存在唯一實(shí)數(shù)a,使得對(duì)任意x>0,都有g(shù)(x)+1≤0.
其中正確結(jié)論的序號(hào)為①②④.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))

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2.在直角坐標(biāo)系中,曲線C1:$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}$(θ為參數(shù),a>0)過(guò)點(diǎn)P($\frac{3}{2},\sqrt{3}$),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$.
(Ⅰ)求曲線C1與直線l的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在C1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到直線l的距離最小,求出最小距離及點(diǎn)M的坐標(biāo).

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12.若實(shí)數(shù)x,y滿足:$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤0}\end{array}\right.$,則z=2x+y的最小值是( 。
A.0B.-1C.-3D.3

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19.甲、乙、丙、丁和戊5 名學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽,決出第一名到第5 名的名次.若甲乙都沒(méi)有得到冠軍,并且乙不是最差的,5 個(gè)人的名次排名可能有多少種不同的情況?

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16.已知α,β∈(0,$\frac{π}{4}$),$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$,且3sin β=sin(2α+β),則α+β=$\frac{π}{4}$.

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17.下列說(shuō)法
①角α是第一象限的角,則角2α是第一或第二象限的角;
②變量“正方體的棱長(zhǎng)”和變量“正方體的體積”屬于相關(guān)關(guān)系;
③擲一粒均勻的骰子,出現(xiàn)“向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”的概率為$\frac{1}{2}$;
④向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|,則存在實(shí)數(shù)λ,使得$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$,
其中正確的個(gè)數(shù)有(  )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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