Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面ABCD，，，PC與平面ABCD所成的角為，又.

（1）證明：平面平面PCD；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得出，再結(jié)合面面垂直的判斷，即可證明平面平面PCD；

（2）因?yàn)?/span>，PC與平面ABCD所成的角為，求出，建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法，分別求出平面和平面的法向量，通過二面角公式求出二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>且，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，所以為在平面內(nèi)的射影，

所以為與平面所成角，故，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，即.

在，因?yàn)?/span>，，所以.

以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系：則，

得，

設(shè)平面的法向量為，則，

令，得.

設(shè)平面的法向量為，則，

令，得.

所以，

觀察可知，二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.