已知a,b為兩個(gè)正數(shù),且a>b,設(shè)a1=,b1=,當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),an=,bn=
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列;
(Ⅱ)求證:an+1-bn+1(an-bn);
(Ⅲ)是否存在常數(shù)C>0使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C,若存在,求出C的取值范圍;若不存在,試說明理由.
【答案】分析:(I)易知對任意n∈N*,an>0,bn>0.根據(jù)基本不等式可知對任意n∈N*,an>bn,判定符號可得數(shù)列{an}的單調(diào)性,,從而得到數(shù)列{bn}的單調(diào)性; 
(II)根據(jù)題意可知,然后利用放縮法即可證得結(jié)論;
(III)若存在常數(shù)C>0使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C,則對任意n∈N*,,即對任意n∈N*成立,設(shè)[x]表示不超過x最大整數(shù),則有,即當(dāng)時(shí),對任意n∈N*成立矛盾.從而所以,不存在常數(shù)C>0使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C.
解答:(共13分)
(Ⅰ)證明:易知對任意n∈N*,an>0,bn>0.
由a≠b,可知,即a1>b1
同理,,即a2>b2
可知對任意n∈N*,an>bn,
所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.,
所以數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列.              …(5分)
(Ⅱ)證明:.…(10分)
(Ⅲ)解:由,可得
若存在常數(shù)C>0使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C,
則對任意n∈N*,
對任意n∈N*成立.
對任意n∈N*成立.
設(shè)[x]表示不超過x最大整數(shù),則有
即當(dāng)時(shí),
對任意n∈N*成立矛盾.
所以,不存在常數(shù)C>0使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C. …(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性的判定,以及利用放縮法證明不等式,同時(shí)考查了橫成立問題,屬于難題.
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(2011•東城區(qū)二模)已知a,b為兩個(gè)正數(shù),且a>b,設(shè)a1=
a+b
2
,b1=
ab
,當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),an=
an-1+bn-1
2
,bn=
an-1bn-1

(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列;
(Ⅱ)求證:an+1-bn+1
1
2
(an-bn);
(Ⅲ)是否存在常數(shù)C>0使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C,若存在,求出C的取值范圍;若不存在,試說明理由.

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已知a,b為兩個(gè)正數(shù),且a>b,設(shè),當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),
(1)求證:數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列;
(2)求證:an+1-bn+1
(3)是否存在常數(shù)C>0,使得對任意n∈N*,有|an-bn|>C,若存在,求出C的取值范圍;若不存在,試說明理由。

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如圖,已知A、B為兩定點(diǎn),且||=2c,C為動(dòng)點(diǎn)且滿足||=2a(ac>0,a、c為常數(shù)),DAC中點(diǎn),P在邊BC上且·=0.

(1)以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2)若F、G是點(diǎn)P的軌跡上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),且線段FG的中垂線與直線AB相交,交點(diǎn)為Qt,0).

①證明:存在最小的正數(shù)M,使得tM,并求M的值.

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