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如圖，已知A、B為兩定點，且||=2c,C為動點且滿足||=2a(a＞c＞0,a、c為常數)，D為AC中點，P在邊BC上且·=0.

（1）以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程.

（2）若F、G是點P的軌跡上任意兩個不同的點，且線段FG的中垂線與直線AB相交，交點為Q（t,0）.

①證明：存在最小的正數M，使得t＜M,并求M的值.

②若M=，求∠APC的取值范圍.

解：（1）∵,?

∴?

根據橢圓定義可知P的軌跡方程為：?

(其中b2=a2-c2,b＞0)?

(2)①設G（x1 ,y1）,F(x 2 ,y 2),GF的中點（x 0 ,y 0）,斜率為k,?

則

(Ⅰ)-(Ⅱ)得b2x0+a2y0k=0.?

若k=0,則FG的中垂線為y軸t=0；?

若k≠0，則-=.?

GF的中垂線方程為y-y0=(x-x0)，則-y0=(t-x0),t=-+x0-x0 .?

∵FG的中垂線與AB直線相交，?

∴-a＜x0＜a,∴-.?

∴存在最小正數M=,使得t＜M.?

②∵M=,∴,.?

設∠APB=θ,||=r1 ,||=r2 ,?

∴r1+r2=2a,?

∴.

∴0°≤θ≤60°,∴∠APC∈(120°,180°］.

練習冊系列答案
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EH
=
EG
，
HP
•
GE
=0（G為動點，P是HP和GF的交點）．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系求出點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與直線EF相交于一點C，證明|OC|＜
9
5
（O為EF的中點）．

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