Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)；
（1）求m的值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）當f（x）的定義域為（1，a-2）時，f（x）的值域為（1，+∞），求a的值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）直接利用奇函數(shù)的定義，化簡即可求m的值；
（2）求出函數(shù)的定義域，通過對數(shù)的底數(shù)的取值范圍討論f（x）的單調性；
（3）當f（x）的定義域為（1，a-2）時，利用（2）的結果函數(shù)的單調性，結合f（x）的值域為（1，+∞），即可求a的值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即loga

1+mx

-x-1

=-loga

1-mx

x-1

得m=-1；
（2）由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
令g(x)=

1+x

x-1

，則g(x)=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

為（-∞，-1）和（1，+∞）上的減函數(shù)，
當a＞1，由復合函數(shù)的單調性可得f（x）為（-∞，-1）和（1，+∞）上的減函數(shù)；
當0＜a＜1時，由復合函數(shù)的單調性可得f（x）為（-∞，-1）和（1，+∞）上的增函數(shù)；
（3）∵a-2＞1∴a＞3由（2）知：函數(shù)在（1，a-2）上是單調減函數(shù)，
又∵f（x）∈（1，+∞），∴f（a-2）=1，
即loga

a-1

a-3

=1．
解得a=2+

3

．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的應用，函數(shù)的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．