【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中a∈R.

(I)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程;

(II)求f(x)的極值.

【答案】(I)2x-y=0; (II)見解析.

【解析】試題分析:(1)求出在原點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,得斜率,即可求出切線方程;

(2)求出導(dǎo)數(shù),討論單調(diào)性得極值.

試題解析:

(I)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=,f '(x)=-2.…………2分

由f '(0)=2,得曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程是2x-y=0.………4分

(II)解:f '(x)=-2. ………6分

①當(dāng)a=0時(shí),f '(x)=.

所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,(-∞,0)單調(diào)遞減. ………………7分

當(dāng)a≠0,f '(x)=-2a.

②當(dāng)a>0時(shí),令f '(x)=0,得x1=-a,x2=,f(x)與f '(x)的情況如下:

x

(-∞,x1

x1

(x1,x2

x2

(x2,+∞)

f '(x)

-

0

+

0

-

f(x)

f(x1

f(x2

故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-a),(,+∞);單調(diào)增區(qū)間是(-a, ).

f(x)有極小值f(-a)=-1,有極大值f()=a2 ………10分

③當(dāng)a<0時(shí),f(x)與f '(x)的情況如下:

x

(-∞,x2

x2

(x2,x1

x1

(x1,+∞)

f '(x)

+

0

-

0

+

f(x)

f(x2

f(x1

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,);單調(diào)減區(qū)間是(-,-a),(-a,+ ∞)。

f(x)有極小值f(-a)=-1,有極大值f()=a2 ………………12分

綜上,a>0時(shí),f(x)在(-∞,-a),(,+∞)單調(diào)遞減;在(-a, )單調(diào)遞增.

a=0時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減,f(x)有極小值f(-a)=-1,有極大值,f()=a2;a<0時(shí),f(x)在(-∞, ),(-a,+∞)單調(diào)遞增;在(,-a)單調(diào)遞減,f(x)有極小值f(-a)=-1,有極大值f()=a2.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】記表示中的最大值,如,已知函數(shù).

1)求函數(shù)上的值域;

2)試探討是否存在實(shí)數(shù), 使得恒成立?若存在,求的取值范圍;

若不存在,說明理由.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中a∈R.

(I)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程;

(II)求f(x)的極值.

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【題目】設(shè)關(guān)于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)求α+β的值.

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【題目】比較下列各組中兩個(gè)值的大小 :

(1)ln0.3,ln2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a1);

(3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2.

(I)若f(x)在x=1處有極值10,求a,b的值;

(II)若當(dāng)a=-1時(shí),f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,求b的取值范圍

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【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,f(0)f(2)3.

(1)f(x)的解析式;

(2)f(x)在區(qū)間[2a,a1]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍

(3)在區(qū)間[1,1],yf(x)的圖象恒在y2x2m1的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的范圍

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【題目】2015年12月,京津冀等地?cái)?shù)城市指數(shù)“爆表”,北方此輪污染為2015年以來最嚴(yán)重的污染過程,為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:

時(shí)間

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期七

車流量(萬輛)

1

2

3

4

5

6

7

的濃度(微克/立方米)

28

30

35

41

49

56

62

(1)由散點(diǎn)圖知具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;

(2)(i)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測該市車流量為8萬輛時(shí)的濃度;

(ii)規(guī)定:當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級為優(yōu);當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級為良,為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良,則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)?(結(jié)果以萬輛為單位,保留整數(shù))

參考公式:回歸直線的方程是,其中, .

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【題目】如圖,四棱錐的底面為菱形 且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=2,PA=,

(1)求證:平面PBD⊥平面PAC;

(2)求三棱錐P--BDC的體積。

(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)E,使PC⊥平面EBD成立.如果存在,求出EC的長;如果不存在,請說明理由。

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