Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，地面ABCD為正方形，PA⊥地面ABCD，AB=AP=1，E為PB的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥平面PBC；
（2）求三棱錐D-BPC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AE⊥PB，平面ABP⊥平面ABCD，BC⊥平面ABP，AE⊥BC，由此能證明AE⊥平面PBC．
（2）由已知得V_D-EPC=V_A-EPC，從而V_A-EPC=

1

3

S△PBC•AE，由此能求出三棱錐D-BPC的體積．

解答： （1）證明：∵AB=AP，E為PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB，
∵AP⊥平面ABCD，∴平面ABP⊥平面ABCD，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABP，
∵AE?平面ABP，∴AE⊥BC，
∵PB，BC?平面ABP，
∴AE⊥平面PBC．
（2）解：∵AD∥BC，AD?面SBC，BC?平面SBC，
∴AD∥平面SBC，
∴V_D-EPC=V_A-EPC，
又∵AE⊥平面PBC，
∴V_A-EPC=

1

3

S△PBC•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

1

2

=

1

6

，
∴三棱錐D-BPC的體積是

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．