Question

在△ABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-

1

2

，則△ABC的面積等于

15 3

4

．

Answer 1

分析：由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，同時利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據(jù)最大角的余弦值，得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：根據(jù)題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，
∴A為最大角，又cosA=-

1

2

，且A為三角形的內角，
∴A=120°，
而cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(c+2)2+c2-(c+4)2

2c(c+2)

=-

1

2

，
整理得：c²-c-6=0，即（c-3）（c+2）=0，
解得：c=3或c=-2（舍去），
∴a=3+4=7，b=3+2=5，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

15 3

4

．
故答案為：

15 3

4

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，三角形的邊角關系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．