Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均是正數(shù)，其前n項和為S_n，滿足（p-1）S_n=p²-a_n，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)M，使得n＞M時，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相應的M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的遞推公式，進而求解．
（2）將（1）中的結論代入b_n=，求出bn，進而求出b_nb_n+1，利用列項法求出T_n，即可求出T_n的范圍；
（3）不等式化簡可得，討論p與1的大小，分別求出滿足條件的M，從而得到所求．
解答：解：（1）由題設知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．…（1分）
同時兩式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
所以（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，即a_n+1=，
可見，數(shù)列的等比數(shù)列．…（4分）
．…（5分）
（2）b_n=．…（7分）
b_nb_b+1=．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1==1-…（9分）
所以，…（10分）
（3），
由題意，要求．…（12分）
①當p＞1時，-5n-152＜0．
解得-＜n＜8．不符合題意，此時不存在符合題意的M．   …（14分）
②當0＜p＜1時，-5n-152＞0．
解得n＞8，或n＜-（舍去）．此時存在的符合題意的M=8．
綜上所述，當0＜p＜1時，存在M=8符合題意；
當p＞1時，不存在正整數(shù)M，使得命題成立．      …（16分）
點評：本題主要考查數(shù)列知識的綜合運用，以及證明不等式的能力，同時考查了裂項求和法，屬于中檔題．